ベンフォードの法則

ベンフォードの法則

世の中には、説明が困難な法則があるもので。

ベンフォードの法則とは、
ランダムの数字群がある場合に、その最初の桁の数字は、
1が一番多く、順番に少なくなり、9の場合が最初になる、というもの。

※もちろん、住所や電話番号のような、人為的に割り振られた数字群の場合は成り立たない。

具体的には、頭の1桁めがnである確率は、

log10(1+1/n)

で与えられる。

つまり、頭が1の場合の確率は約30%なのに対し、9の場合は、4.6%にまで低下する。

僕もにわかには信じられなかったので、検証してみることにした。

太陽系にある、全61の衛星(冥王星のカロンも含む)の軌道長半径についてデータを取ってみる。
※ただし、最初の数値が「0」であるフォボスは除くので、実質60個。

1桁めの数値が1:23個(38.3%)
1桁めの数値が2:11個(18.3%)
1桁めの数値が3:5個(8.3%)
1桁めの数値が4:4個(6.6%)
1桁めの数値が5:7個(11.6%)
1桁めの数値が6:7個(11.6%)
1桁めの数値が7:2個(3.3%)
1桁めの数値が8:1個(1.6%)
1桁めの数値が9:0個(0%)

それぞれの割合(%)にはズレがあり、
1桁めの数値が5及び6の場合は、若干多くなってはいるが、

それでも、冒頭が1の場合が最も多く、9の場合が最も少ない、というのは歴然としている。

もう1つやってみよう。
全天88星座の面積(単位は平方度)を調べてみる。

1桁めの数値が1:25個(28.4%)
1桁めの数値が2:21個(23.8%)
1桁めの数値が3:7個(7.9%)
1桁めの数値が4:8個(9.0%)
1桁めの数値が5:8個(9.0%)
1桁めの数値が6:6個(6.8%)
1桁めの数値が7:4個(4.5%)
1桁めの数値が8:4個(4.5%)
1桁めの数値が9:5個(5.6%)

頭の1桁めが1の場合が最も多く、
数値が大きくなるにしたがって、だんだんと少なくなるという傾向が、確かに見て取れるではないか。
(「9」の場合は5個だが、誤差約1%は無視してよかろう)

どちらの場合も、頭の1桁めは、1~9のいずれの数値にも(公平に)なる可能性があるのに、
なぜこのような分布を示すのかは、ちょっと説明できない。

これが、「ベンフォードの法則」である。
恐るべし。

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