世の中には、説明が困難な法則があるもので。
ベンフォードの法則とは、
ランダムの数字群がある場合に、その最初の桁の数字は、
1が一番多く、順番に少なくなり、
9の場合が最少になる、というもの。
※もちろん、住所や電話番号のような、
人為的に割り振られた数字群の場合は成り立たない。
具体的には、頭の1桁めがnである確率は、
log10(1＋1/n)
で与えられる。
つまり、頭が1の場合の確率は約30%なのに対し、
9の場合は、4.6%にまで低下する。
僕もにわかには信じられなかったので、
検証してみることにした。
太陽系にある、全61の衛星（冥王星のカロンも含む）の軌道長半径について、
データを取ってみる。
※ただし、最初の数値が「0」であるフォボスは除くので、実質60個。
1桁めの数値が1：23個（38.3%）
1桁めの数値が2：11個（18.3%）
1桁めの数値が3：5個（8.3%）
1桁めの数値が4：4個（6.6%）
1桁めの数値が5：7個（11.6%）
1桁めの数値が6：7個（11.6%）
1桁めの数値が7：2個（3.3%）
1桁めの数値が8：1個（1.6%）
1桁めの数値が9：0個（0%）
それぞれの割合（%）にはズレがあり、
1桁めの数値が5及び6の場合は、若干多くなってはいるが、
それでも、冒頭が1の場合が最も多く、
9の場合が最も少ない、というのは歴然としている。
もう1つやってみよう。
全天88星座の面積（単位は平方度）を調べてみる。
1桁めの数値が1：25個（28.4%）
1桁めの数値が2：21個（23.8%）
1桁めの数値が3：7個（7.9%）
1桁めの数値が4：8個（9.0%）
1桁めの数値が5：8個（9.0%）
1桁めの数値が6：6個（6.8%）
1桁めの数値が7：4個（4.5%）
1桁めの数値が8：4個（4.5%）
1桁めの数値が9：5個（5.6%）
頭の1桁めが1の場合が最も多く、
数値が大きくなるにしたがって、
だんだんと少なくなるという傾向が、確かに見て取れるではないか。
（「9」の場合は5個だが、誤差約1%は無視してよかろう）
どちらの場合も、頭の1桁めは、
1～9のいずれの数値にも（公平に）なる可能性があるのに、
なぜこのような分布を示すのかは、ちょっと説明できない。
これが、「ベンフォードの法則」である。
恐るべし。